MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP

MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn :Peluang

Teori peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi. Girolamo Cardano (1501-1576), seorang penjudi dan fisikawan adalah orang pertama yang menuliskan analisis matematika dari masalah-masalah dalam permainan judi. Adapun ilmu hitung peluang yang dikenal dewasa ini dikemukakan oleh tiga orang Prancis, yaitu bangsawan kaya Chevalier de Mere dan dua ahli matematika, yaitu Blaise Pascal dan Pierre de Fermat.

Walapun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunanakan sacara luas. Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorology, sains, dan industri. Misalnya perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir berapa lama seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk memprediksi kesuksesan sebuah pengobatan; ahli meteorologi menggunakan peluang untuk kondisi-kondisi cuaca; peluang juga digunanakan untuk memprediksi hasil-hasil sebelum pemilihan umum; peluang juga digunakan PLN untuk merencanakan pengembangan sistem pembangkit listrik dalam menghadapi perkembangan beban listrik di masa depan, dan lain-lain.lebih lanjut klik disini

Adapun materi peluang yang akan dibahas pada tulisan ini akan dibatasi pada masalah:
A)    Percobaan, ruang sampel, dan kejadian
B)    Peluang suatu kejadian
C)    Peluang percobaan kompleks
D)    Peluang Kejadian Majemuk

A) Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian
Percobaan adalah: suatu kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk menghasilkan sesuatu.
Ruang Sampel adalah : Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian (percobaan)
Titik Sampel adalah : Anggota-anggota dari ruang sampel
Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Contoh :

Misalkan sebuah dadu bermata enam dilemparkan satu kali maka tentukan!
Hasil yang mungkin muncul
Ruang Sampel
Titik sampel
Banyaknya kejadian mata dadu ganjil
Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3

Jawab:

Hasil yang mungkin muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6
Ruang sampel atau S = {1,2,3,4,5,6}
Titik sampel sama dengan hasil yang mungkin yaitu mata dadu 1,2,3,4,5 dan 6

Misalkan A adalah kejadian mata dadu ganjil

Kejadian A={1,3,5}
Banyaknya kejadian mata dadu ganjil adalah n(A) =3

Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3

Kejadian B={1,2}
Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3 adalah n(B)=2

Sebuah mata uang logam dilambungkan satu kali, tentukan!
Ruang sampel
Kejadian munculnya angka
Banyaknya ruang Sampel
Banyaknya kejadian muncul angka

Jawab:
Sebuah mata uang mempunyai dua sisi yaitu Angka (A) dan Gambar(G).

Ruang Sampelnya adalah S={A, G}
Kejadian munculnya angka adalah {A}
Kejadian munculnya gambar adalah {G}
Banyaknya ruang sampel, n(S)=2 yaitu {A} dan {G}
Banyaknya kejadian muncul angka, n(Angka)=1 atau n(A)=1

Dua buah mata uang logam dilemparkan bersama-sama, tentukan!

Ruang sampelnya c. Banyaknya kejadian keduanya gambar.
Banyaknya Ruang Sampel

Jawab:

Ruang sampelnya

Mata Uang II	A	G
Mata Uang I	A	G
A	AA	AG
G	GA	GG

Ruang Sampelnya : {AA,GA,AG,GG}

Banyaknya ruang sampel, n(S)=4
Misalkan B adalah kejadian keduanya gambar.

Kejadian B = {GG}
Maka bayaknya kejadian keduanya gambar, n(B) = 1

Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Tentukan:

Ruang sampelnya
Banyaknya Ruang Sampel
Banyaknya kejadian mata dadu 4 pada dadu pertama.
Banyaknya kejadian mata dadu 5 pada dadu kedua.

Jawab:
Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:

Ruang sampel

Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:

DADU II	1	2	3	4	5	6
DADU I	1	2	3	4	5	6
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(5,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

S={(1,1),(1,2),(1,3), … (6,4),(6,5),(6,6)}

Banyaknya Ruang sampel, n(S)= 36.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 4 pada dadu pertama.

Kejadian A = {(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),(4,5),(4,6)}
Banyaknya kejadian mata dadu 4 pada dadu pertama, n(A)=4

Misalkan B adalah kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua.

Kejadian B = {(1,5),(2,5), (3,5),(4,5),(5,5),(6,5)}
Banyaknya kejadian mata dadu 5 pada dadu kedua, n(B)=4

Soal Latihan

Dari satu set kartu Bridge, diambil dua kartu secara acak. Tentukan !

Banyaknya Ruang sampel, b. Bayaknya kejadian keduanya kelor(¨).

Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Tentukan

Banyaknya kejadian muncul mata dadu yang berjumlah 7
Banyaknya kejadian muncul mata dadu 2 pada dadu I
Banyaknya kejadian muncul mata dadu 6 pada dadu II

Setumpuk kartu yang bernomor 1 sampai 12. Tentukan!
Ruang Sampel
Banyaknya Ruang Sampel
Kejadian kartu kelipatan 3
Banyaknya kartu kelipatan 3
Dari satu set kartu bridge, diambil dua buah kartu. Tentukan!

Kejadian terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K)
Banyaknya Kejadian terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K)

Tiga mata uang logam dilemparkan bersama-sama. Tentukan!

Banyaknya Ruang Sampel
Kejadian mendapatkan dua gambar.
Banyaknya kejadian mendapatkan dua gambar.

Sebuah kantong berisi 4 kelereng merah, 2 kelereng biru, dan 3 kelereng putih. Satu kelereng diambil secara acak. Tentukan!

Banyaknya Ruang Sampel
Banyaknya kejadian mendapatkan kelereng berwarna biru.

Sebuah kotak berisi 9 bola pingpong yang diberi warna yaitu 4 warna hitam, 3 warna putih dan 2 warna kuning. Diambil 3 bola secara acak.Tentukan !

Banyaknya Ruang Sampel
Banyaknya kejadian terambilnya bola warna hitam semua.
Banyaknya kejadian terambilnya 2 bola warna putih, dan 1 warna kuning
Banyaknya kejadian terambilnya 1 bola hitam, 1 bola putih, 1 bola kuning.

B) Peluang suatu kejadian

a. Peluang suatu Kejadian

Kejadian atau Peristiwa adalah Himpunan bagian dari ruang sampel.
Peluang suatu kejadian adalah Banyaknya kejadian dibagi dengan banyaknya ruang sampel.
Misalkan P(A) adalah Peluang Kejadian A, dan S adalah Ruang sampel.
Maka
P(A)     : Peluang kejadian A
n(A)     : Banyaknya anggota dalam kejadian A
n(S)      : Banyaknya anggota ruang Sampel

b. Kisaran Nilai Peluang

Kisaran Nilai Peluang K adalah :
0£P(K) £1
P(K)=0 disebut Peluang Kejadian K adalah nol atau Kemustahilan
P(K)=1 disebut Peluang Kejadian K adalah 1 atau Pasti terjadi / Kepastian

Contoh:

Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Tentukan peluang

Munculnya mata dadu ganjil b. Munculnya mata dadu kurang dari 3

Jawab:
n(S)=6

Misalkan A adalah Kejadian Ganjil

Kejadian A={1,3,5}, n(A) =3
Maka Peluang munculnya mata dadu ganjil adalah
= 3/6=1/2

Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3

Kejadian B={1,2}, n(B)=3
Maka peluang munculnya mata dadu kurang dari 3 adalah
= 3/6=1/2

Dua buah mata uang logam dilemparkan ke atas bersama-sama, tentukan!

Peluang munculnya satu gambar b. Peluang muncul keduanya gambar

Jawab:
n(S) = 4

Misalkan A adalah kejadian satu gambar.

Kejadian A = {GA , AG}, n(A) = 2
Maka peluang kejadian satu gambar:
=2/4 =1/2

Misalkan B adalah kejadian keduanya gambar.

Kejadian B = {GG}, n(B) = 1
Maka peluang kejadian keduanya gambar:
=1/4

Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan peluang munculnya mata dadu 4 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua

Jawab:
Misalkan A adalah Kejadian munculnya angka mata dadu 4 pada dadu I.
Dan Kejadian B adalah kejadian munculnya angka mata dadu 5 pada dadu II.
n(S)=36
Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:

DADU II	1	2	3	4	5	6
DADU I	1	2	3	4	5	6
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(5,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

Kejadian A dan B adalah : {(4,5)}
Peluang munculnya adalah

Sebuah dadu bermata enam dilemparkan ke atas satu kali maka tentukan peluang munculnya mata dadu 9.

Jawab :
Mustahil terjadi, P=0 (Kemustahilan)

Tentukan peluang matahari akan terbit dari timur pagi hari.

Jawab:
Terbitnya matahari dari timur bukan sebuah percobaan. (Pasti)

Soal Latihan

Dua buah mata uang logam dilemparkan ke atas bersama-sama, tentukan!
Dari satu set kartu Bridge, diambil dua kartu secara acak. Berapa peluang terambil keduanya kelor (¨)?
Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan peluang :

Munculnya mata dadu yang berjumlah 7
Munculnya mata dadu 2 pada dadu I
Munculnya mata dadu 6 pada dadu II

Setumpuk kartu yang bernomor 1 sampai 12. Tentukan peluang terambilnya kartu kelipatan 3
Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan peluang muncul keduanya berjumlah kurang dari 8
Dari satu set kartu bridge, diambil dua buah kartu. Tentukan peluang terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K)
Tiga mata uang logam dilemparkan bersama-sama. Tentukan peluang mendapatkan dua gambar dan satu angka.
Sebuah kantong berisi 4 kelereng merah, 2 kelereng biru, dan 3 kelereng putih. Satu kelereng diambil secara acak. Tentukan peluang mendapatkan kelereng berwarna biru!
Sebuah kotak berisi 9 bola pingpong yang diberi warna yaitu 4 warna hitam, 3 warna putih dan 2 warna kuning. Diambil 3 bola secara acak. Tentukan Peluang!

Terambilnya bola warna hitam semua,
Terambilnya 2 warna putih dan 1 warna kuning,
Terambilnya 1 hitam, 1 putih dan 1 kuning.

Peluang munculnya satu angka
Peluang muncul keduanya angka

Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian

Ringkasan materi

Frekuensi harapan suatu peristiwa pada suatu percobaan yang dilakukan sebanyak n kali adalah Hasil kali peluang peristiwa itu dengan n.
f_h = n x P(A)

Contoh:

Sebuah mata uang logam dilemparkan 50 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya angka

Jawab:
Misalkan A adalah kejadian munculnya angka pada mata uang.
Ruang Sampel , S={A,G},n(S)=2
Kejadian A={A},n(A)=1,
P(A)=1/2
Maka frekuensi harapan munculnya angka adalah
f_h(A)=1/2 x 50 = 25 kali

Sebuah dadu dilambungkan 30 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu prima.

Jawab:
Misalkan B adalah kejadian munculnya mata dadu Prima.
Ruang Sampel adalah S={1,2,3,4,5,6},n(S)=6
Kejadian B adalah B={2,3,5}, n(B)=3,
P(B) = 3/6 =1/2
Maka frekuensi harapan munculnya mata dadu prima adalah
f_h(B) = 1/2 x 30 = 15 kali

Peluang seseorang akan terjangkit penyakit virus AIDS-HIV di Indonesia pada tahun 2005 adalah 0,00032. Diantara 230 juta penduduk Indonesia, berapa kira-kira yang terjangkit virus tersebut pada tahun 2005?

Jawab:
Misalkan C adalah kejadian terjangkitnya seseorang oleh virus AIDS-HIV
P(C) =0,00032
Maka f_h(C) = 0,00032 x 230.000.000 = 73.600 orang

Soal Latihan

Sebuah uang koin dilambungkan 600 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya gambar
Peluang Grup A akan memenangkan pertandingan volly terhadap grup B adalah . Berapa frekuensi harapan grup A akan menang jika pertandingan tersebut direncanakan 12 kali.
Dalam suatu kotak terdapat 4 bola merah dan 2 bola putih. Diambil secara acak dua bola. Jika percobaan ini dilakukan 10 kali, tentukan frekuensi harapan terambilnya dua bola merah!
Pada bulan April 2004 (jumlah hari ada 30) peluang akan turun hujan untuk satu hari menurut perkiraan cuaca adalah 0,2. Berapa kali hujan yang diharapkan terjadi pada bulan tersebut.
Peluang bola lampu akan rusak dalam sebuah peti lampu adalah 0,11. Berapa banyak lampu yang akan rusak dalam peti tersebut jika terdapat 205 bola lampu?
Dua buah dadu dilambungkan 120 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu yang kembar (mata dadu sama).

Menentukan Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Ringkasan Materi

Komplemen dari kejadian A ditulis A^c adalah kejadian bukan A.
Peluang kejadian bukan A dirumuskan :

Contoh:

Sebuah dadu dilambungkan ke atas satu kali. Jika kejadian A adalah munculnya mata dadu genap, maka tentukan kejadian bukan A

Jawab:
Ruang Sampel adalah S = {1,2,3,4,5,6}, n(S)=6
Kejadian A adalah A={2,4,6}, n(A)=3
Kejadian Bukan A adalah A^c = {1,3,5} ,karena A dan A^c ÎS

Dari seperangkat kartu Bridge, diambil secara acak sebuah kartu. Tentukan peluang terambilnya

Bukan kartu Ace
Bukan kartu berwarna merah

Jawab:

Banyaknya ruang sampel n(S) =52

Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu Ace.
n(Ace) = n(A) = 4
Peluang terambilnya Ace, P(A)=4/52 =1/13
Maka peluang bukan Ace, P(A^c) = 1 – 1/13 = 12/13

Misalkan B adalah kejadian terambilnya kartu berwarna merah.

n(Merah) = n(B) = 26 (ada 26 berwarna merah)
Banyaknya ruang sampel n(S) =52
Peluang terambilnya kartu merah , P(B)= = =
Maka peluang terambilnya bukan kartu berwarna merah, P(B^c) = 1 – =

Soal Latihan

Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama satu kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu bukan kembar.
Dalam sebuah kantong terdapat 10 kelereng merah, dan 8 kelereng putih, jika diambil 2 kelereng secara acak berapakah peluang mendapatkan sedikitnya satu kelereng putih?
Dari setumpuk bola dalam karton yang diberi nomor 1 sampai dengan 20, diambil dua bola secara acak. Berapakah peluang mendapatkan bola yang nomornya berjumlah lebih dari 5?
Dalam sebuah kantong terdapat 15 baterai, terdapat 5 buah baterai yang rusak/mati. Jika dipilih 3 buah baterai secara acak, berapakah peluang:

Tidak ada yang rusak?
Hanya sebuah yang rusak?
Sekurang-kurangnya sebuah yang rusak?

Dalam suatu kelas terdapat 6 siswa gemar belajar Fisika, 5 siswa gemar belajar Kimia, dan 4 siswa gemar belajar matematika. Jika dipanggil 3 orang siswa oleh gurunya untuk datang ke Ruang guru, Berapa peluang tidak terpanggilnya siswa yang gemar belajar Fisika?
Dalam sebuah dos terdapat 3 kaleng Coca-cola, 4 kaleng Sprite dan 4 kaleng Fanta. Akan diambil 3 kaleng secara acak. Berapa peluang terambil maksimal dua jenis kaleng dari ketiga jenis kaleng tersebut?.

MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn : Pangkat Tak Sebenarnya

Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu:

Kompetensi Dasar :

Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar
Melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar
Memecahkan masalah sederhanayang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar

Daftar isi

· 1 Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

· 2 Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

· 3 Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

· 3.1 Bilangan Rasional dan Irasional

· 3.2 Bentuk Akar

· 3.3 Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

· 4 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

· 4.1 Penjumlahan dan Pengurangan

· 4.2 Perkalian dan Pembagian

· 4.3 Perpangkatan

· 4.4 Operasi Campuran

· 5 Merasionalkan Penyebut

· 5.1 Penyebut Berbentuk √b

· 5.2 Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

· 5.3 Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

· 6 Referensi

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

Masih ingat bentuk berikut :
3² = 3 x 3
2³ = 2 x 2 x 2
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.

' alt="Gambar:36.jpg" border=0 v:shapes="_x0000_i1025">
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.

Sifat 1
aⁿ x aⁿ = a^{m
+ n}
2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 2⁴⁺³
Sifat 2
a^m : aⁿ = a^{m
- n}, m > n
5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 5^{5 - 3}
Sifat 3
(a^m)ⁿ = a^{m x
n}
(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
       = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
       = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
       = 38
       = 3^{4 x 2}

Sifat 4
(a x b)^m = a^m x b^m
(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 4³ x 2³
Sifat 5
(a : b)^m = a^m : b^m
(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 6⁴ : 3⁴

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya

√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^mdapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku

a√b + c√b = (a + c)√b

a√b - c√b = (a - c)√b
Perkalian dan Pembagian

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

· Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.

· Jika tidak ada tanda kurungnya maka

pangkat dan akar sama kuat;
kali dan bagi sama kuat;
tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√bdapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan^√b/_√b .

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.

Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.

MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn Bab 6 : Pola Bilangan, Barisan, dan Deret

Barisan Aritmatika

          (1) 3, 7, 11, 15, 19, ...
          (2) 30, 25, 20, 15, 10,...
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
          Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
          Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U₁, U₂, U₃,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
        3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka
       U₁ = 3 =+ 4 (0)

       U₂ = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
       U₃= 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
            ....
       U_n = 3 + 4(n-1)
Secara umum, jika suku pertama (U₁) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
       U_n = a + b(n-1)
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
        U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
        U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

Deret Aritmatika

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U₁, U₂, U₃, ... barisan aritmetika. U_1, U₂, U₃, ... adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.S_nmaka S dari deret di atas adalah :

SOAL LATIHAN

1. Selisih dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan pertama. Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk suku kelima dan suku kedua suatu barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh!

Penyelesaian :

*) y – x = 36 → y = 36 + x → 5x = 36 + x

*) y= 5x 4x = 36→ x = 9 → y = 45

U₅ = 9 → a + 4b = 9

U₂ = 45 → a + b = 45 -

3b = -36

b = – 12 U₁₀ = a + 9b

a = 57 = 57 – 108 = – 51

2. Misalkan a₁ + a₂ + a₃+ a₄+ a₅+ a₆ adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah 75. Jika a₂ = 8 maka tentukan a₆ !

a₁ + a₂ + a₃+ a₄+ a₅+ a₆ = 75 a₂ = 8

a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 75 a + b = 8

6a + 15b = 75 a = 8 – b

2a + 5b = 25

2(8 – b) + 5b = 25

16 + 3b = 25 → b = 3 → a = 5 → a₆ = a + 5b = 5 + 15 = 20

3. 1 – 3 + 5 + 7 – 9 + 11 + 13 – 15 + 17 + 19 – 21 + ….. + 193 – 195 + 197 = ?

= 1–3+(5+7)–9+(11+13)–15+(17+19)–21+ …..–189+(191+ 193)–195+197

= 1–3+ 12 –9+ 24 – 15+ 36 – 21+….. – 189 + 384 – 195 + 197

= 1 + 197 + (12 + 24 + 36 + … + 384) – 3 – 9 – 15 – ……. – 195

= 198 + 16(12 + 384) – 33/2(3 + 195)

= 198 + 6336 – 3267 = 3267

4. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut :

kelompok 1 : {1},

kelompok 2 : {3,5},

kelompok 3 : {7,9,11},

kelompok 4 : {13,15,17,19}, …

dst

maka berapakah bilangan pertama dari kelompok ke-100 ?

kelompok 1 : {1} = 1² – 0

kelompok 2 : {3,5} = 2² – 1

kelompok 3 : {7,9,11} = 3² – 2

kelompok 4 : {13,15,17,19} = 4² – 3

Kelompok 100 : = 100² – 99 = 10.000 – 99 = 9.901

5. Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut !

Misalkan bilangan itu : a – 16, a , a + 16

(a + 16 – 7 ) : a = a : (a – 16 + 10)

a² = (a + 9)(a – 6)

a² = a² + 3a – 54

3a = 54 → a = 18

Sehingga jumlah 3 bilangan itu = 2 + 18 + 34 = 54

6. Jika jumlah sepuluh suku pertama suatu deret aritmetika adalah – 110 dan jumlah dua suku berturut-turut berikutnya adalah 2 maka tentukan jumlah 2 suku pertama !

S₁₀ = 5(2a + 9b) U₁₁ + U₁₂ = 2 2a + 9b = – 22

– 110 = 5(2a + 9b) a + 10b + a+ 11b =2 2a + 21b = 2 -

– 22 = 2a + 9b 2a + 21b = 2 12b = 24 b =2 → a = – 20

sehingga a + a + b = – 40 + 2 = – 38

7. Jika a, b, c, d dan e membentuk barisan geometri dan a.b.c.d.e = 1.024 maka berapakah nilai c ?

a.b.c.d.e = 1.024

a.ar.ar².ar³.ar⁴ = 4⁵ karena c merupakan suku ke-3 maka

a⁵.r¹⁰ = 4⁵ c = ar² = 4

(ar²)⁵ = 4⁵

ar² = 4

8. Diketahui barisan bilangan bulat 3, x, y dan 18. Jika tiga bilangan pertama membentuk barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmetika. Maka tentukan x + y !

y : x = x : 3 18 – y = y – x

x² = 3y 2y = 18 + x → y = (18 + x)/2

x² = 3(18 + x)/2

2x² = 3(18 + x) sehingga : x + y = 6 + 12 = 18

2x² – 3x – 54 =0

(2x + 9)(x – 6) = 0

x = 6 → y = 12

9. Diketahui p, q dan r merupakan akar – akar persamaan suku banyak berderajat tiga. Jika p, q dan r membentuk barisan aritmetika, dengan suku ketiga tiga kali suku pertama dan jumlah dari ketiga akar adalah 12 maka tentukan persamaan dari suku banyak tersebut !

r – q = q – p r = 3p p + q + r = 12

2q = p + r p + 2p + 3p = 12

2q = p + 3p 6p = 12

2q = 4p p = 2→ q = 4 → r = 6

q = 2p

sehingga persamaan suku banyaknya : (x – 2)(x – 4)(x – 6) = 0

10. Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika diantara suku – suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara : antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga buah bilangan maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Hitung jumlah dari bilangan yang disisipkan !

2S₄ = 3(U₂ +U₄)

2 a(r⁴ - 1)/(r - 1) = 3(ar + ar³)

2a(r⁴ – 1) = 3ar(1 + r²)(r – 1)

2(r² + 1)(r – 1)(r + 1) = 3r(r² +1)(r – 1) x = a + 2b = 2 + 4 = 6

2r + 2 = 3r y = a + 4b = 2 + 8 = 10

r = 2 z = a + 5b = 2 + 10 = 12

U₁ U₂ x U₃ y z w U₄ w =a+ 6b = 2 + 12 =14 +

a 2a 4a 8a x + y + z + w = 42

b =2a – a

2 = a

Strenght In Numbers

Sabtu, 22 Februari 2014

Materi Matematika kelas 9

MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP

MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn :Peluang

Soal Latihan

Contoh:

Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Tentukan peluang

Soal Latihan

Ringkasan materi

Contoh:

Soal Latihan

Ringkasan Materi

Contoh:

Soal Latihan

MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn : Pangkat Tak Sebenarnya

Daftar isi

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

Bilangan Rasional dan Irasional

Bentuk Akar

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penyebut Berbentuk √b

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.

MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn Bab 6 : Pola Bilangan, Barisan, dan Deret

Barisan Aritmatika

Deret Aritmatika

Tidak ada komentar:

Wikipedia